Trouver le rayon de convergence de la série entière $$\sum\frac{e^n}{n^2}x^n$$ et étudier le cas \(x=R\)

D'alembert
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{en^2}{(n+1)^2}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} e$$ donc \(R=\frac1e\)

Cas \(x=R\)

Pour \(R=\frac1e\), alors $$\sum a_n x^n=\sum\frac1{n^2}\quad\text{CV}$$

Trouver le rayon de convergence de la série entière $$\sum\ln (n)x^n$$

D'alembert

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\ln(n+1)}{\ln (n)}=\frac{\ln(n(1+\frac1n))}{\ln(n)}=1+\frac{\ln(1+\frac1n)}{\ln(n)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1$$ donc \(R=1\)

Trouver le rayon de convergence de la série entière $$\sum n^{(-1)^n}x^n$$

Cauchy dans les deux cas

$$a_n=\begin{cases} n&\text{si}\quad n\text{ pair}\\ \frac1n&\text{sinon.}&\end{cases}\implies\sqrt[n]{a_n}=\begin{cases}\sqrt[n]n&\text{si}\quad n\text{ pair}\\ \frac1{\sqrt[n]n}&\text{sinon.}&\end{cases}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1$$ donc \(R=1\)

Trouver le rayon de convergence de la série entière $$\sum n!x^{n^2}$$

D'alembert
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=(n+1)x^{2n+1}=(n+1)x^{2n}x$$

Étude de la limite

la série converge donc absolument par d'alembert si \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }(n+1)x^{2n+1}\) existe et est plus petite que \(1\)
$$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }(n+1)x^{2n+1}=\begin{cases}0&\text{si}\quad 0\leqslant x\lt 1\\ +\infty&\text{si}\quad x\geqslant1\end{cases}$$ donc \(R=1\)

Trouver le rayon de convergence de la série entière $$\sum \frac{e^n}{n^2}x^{2n}$$

Cauchy

$$\sqrt[n]{\frac{e^n}{n^2}x^{2n}}=\frac e{(\sqrt[n]n)^2}x^2{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} ex^2$$ donc \(R=\frac1{\sqrt e}\)

Déterminer le rayon de convergence de la série de la série entière suivante : $$\sum^{+\infty}_{n=0}x^{n^2}$$

Critère de Cauchy

$$\sqrt[n]{\lvert x\rvert^{n^2}}=\lvert x\rvert^n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\begin{cases}0&\text{si}\quad \lvert x\rvert\lt 1\\ 1&\text{si}\quad\lvert x\rvert=1\\ +\infty&\text{sinon.}&\end{cases}$$ donc \(R=1\)

Déterminer le rayon de convergence de la série de la série entière suivante : $$\sum^{+\infty}_{n=0}x^{n!}$$

Critère de Cauchy

$$\sqrt[n]{\lvert x\rvert^{n!}}=\lvert x\rvert^{(n-1)!}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\begin{cases}0&\text{si}\quad\lvert x\rvert\lt 1\\ 1&\text{si}\quad\lvert x\rvert=1\\ +\infty&\text{sinon.}&\end{cases}$$donc \(R=1\)

Déterminer le rayon de convergence de la série de la série entière suivante : $$\sum^{+\infty}_{n=0}n!x^{2n}$$

Critère de d'Alembert

$$\frac{(n+1)!\lvert x\rvert^{2(n+1)}}{n!\lvert x\rvert^{2n}}=(n+1)\lvert x\rvert^2{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}+\infty$$ donc \(R=0\)

Déterminer le rayon de convergence de la série de la série entière suivante : $$\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{(2n)!}{(n!)^2}x^{2n}$$

Critère de d'Alembert
$$\frac{\lvert u_{n+1}\rvert}{\lvert u_n\rvert}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}\lvert x\rvert^2{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}4\lvert x\rvert^2$$

Déterminer \(R\)

$$4R^2=1\implies R=\frac12$$

Déterminer le rayon de convergence de la série de la série entière suivante : $$\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{x^{2n+1}}{1\cdot3\cdots(2n+1)}$$

Critère de d'Alembert

$$\frac{\lvert u_{n+1}\rvert}{\lvert u_n\rvert}=x^2\frac1{2n+3}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$ donc \(R=+\infty\)

Déterminer le rayon de convergence de la série de la série entière suivante : $$\sum^{+\infty}_{n=0}\left(\cos\left(\frac1n\right)\right)^{n^\alpha}x^n$$ selon la valeur de \(\alpha\)

Critère de Cauchy
Soit \(a_n=(\cos(\frac1n))^{n^\alpha}\)
$$\sqrt[n]{a_n}=\cos\left(\frac1n\right)^{n^{\alpha-1}}$$

Passage à l'exponentielle \(\to\) DL \(\to\) passage à la limite
$$=\exp\left( n^{\alpha-1}\ln(\cos(1/n))\right)\underset{+\infty}\sim\exp\left(\frac{-n^{\alpha-3}}2\right){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\begin{cases}1&\text{si}\quad\alpha\lt 3\\ e^{-1/2}&\text{si}\quad\alpha=3\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}$$

Conclusion sur \(R=\frac1\ell\)

Donc $$R=\begin{cases}1&\text{si}\quad\alpha\lt 3\\ e^{1/2}&\text{si}\quad\alpha=3\\ +\infty&\text{sinon.}&\end{cases}$$

Sachant que \(\rho_n=\left(\frac1{1+1/n}\right)^n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} e^{-1}\), déterminer le rayon de convergence de la série entière : $$\sum^{+\infty}_{n=1}n!\frac{x^n}{n^n}$$

D'Alembert \(\to\) on retrouve \(\rho_n\)

$$\frac{\lvert u_{n+1}\rvert}{\lvert u_n\rvert}=\frac{n+1}{(n+1)^{n+1}}n^n=\left(\frac n{n+1}\right)^n=\rho_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} e^{-1}$$ donc \(R=e\)

Quel est le rayon de convergence de la série $$\operatorname{Li}_k(x)=\sum^{+\infty}_{n=1}\frac{x^n}{n^k}$$ pour un paramètre \(k\) fixé ?

D'Alembert

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n^k}{(1+n)^k}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1\implies R=1$$

Quel est le rayon de convergence de la série entière $$\sum_{n\geqslant0}\ln(n+1)z^n$$ ?

D'Alembert + relation fonctionnelle de \(\ln\)

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\ln(n+1+1)}{\ln(n+1)}=\frac{\ln((n+1)(1+\frac1{n+1})}{\ln(n+1)}=1+\frac{\ln(1+\frac1{n+1})}{\ln(n+1)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1$$
Donc \(R=1\)

(Logarithme népérien - Logarithme naturel (Relation fonctionnelle))

Sachant que la série de terme général \(\ln(\frac{n+1}n)-\frac1n\) converge, que la suite \(\ln(n+1)-S_n\) converge, avec $$S_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$$et que l'on a $$\exists\ell\in{\Bbb R},\qquad\ell=\lim_{N\to+\infty}\ln(N+1)-S_N\tag1$$ donner le rayon de convergence de la série entière \(\psi(x)=\sum_{n\geqslant1}S_nz^n\)

Encadrer \(S_n\) via \((1)\)
$$\begin{align}(1)&\implies\ell-1\leqslant\ln(n+1)-S_n\leqslant\ell+1\\ &\implies\ln(n+1)-\ell-1\leqslant S_n\leqslant\ln(n+1)+1-\ell\end{align}$$

Cauchy pour la majoration et la minoration

$$\sqrt[n]{S_n}=\exp\left\{\frac1n\ln(n+1)+1-\ell\right\}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} e^0=1$$
Idem pour la minoration \(\Rightarrow\) \(R=1\)

Déterminer le rayon de convergence de la série \(\psi(x)=\sum_{n\geqslant0}S_nz^n\), avec $$S_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$$

D'Alembert

$$\frac{S_{n+1}}{S_n}=\frac{S_n+\frac1{n+1}}{S_n}=1+\frac{\frac1{n+1}}{S_n}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1$$

Pour \(n\geqslant0\), on considère $$a_n=\int^{\pi/4}_0\tan^nx\,dx$$ une suite décroissante et convergente vers \(0\)
Sachant que $$a_n+a_{n+2}=\frac1{n+1}\quad\text{ et }\quad\frac1{n+1}\leqslant2a_n\leqslant\frac1{n-1}$$ déterminer le rayon de convergence de la série \(\sum^{+\infty}_{n=0}a_nx^n\) et l'exprimer à l'aide de fonctions usuelles

Encadrer via l'inégalité \(\to\) d'Alembert
$$1\underset{n\to+\infty}\longleftarrow1-\frac3{n+2}=\frac{\frac1{n+2}}{\frac1{n+1}}\leqslant\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2a_{n+1}}{2a_n}\leqslant\frac{n+1}n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1$$

Transformer l'encadrement en série
D'après la relation, on a : $$\sum^{+\infty}_{n=0} a_nx^n+\sum^{+\infty}_{n=0} a_{n+2}x^n=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac1{n+1}x^n$$

Exprimer la série qui ne dépend pas de \(a_n\)
On a : $$\sum^{+\infty}_{n=0}\frac1{n+1}x^n=\frac{\ln(1+x)}x$$

Exprimer la série avec \(a_{n+2}\) en fonction de \(S_n\)
$$\sum^{+\infty}_{n=0} a_{n+2}x^n=\sum^{+\infty}_{n=2}a_nx^{n-2}=\frac1{x^2}\sum^{+\infty}_{n=2}a_nx^n=\frac1{x^2}\left( S(x)-a_0-a_1\right)$$ avec \(a_0=\frac\pi4\) et \(a_1=\ln\sqrt2=\frac{\ln2}2\)

Résoudre l'équation

Et donc : $$S(x)+\frac1{x^2}\left( S(x)-\frac\pi4-\frac{\ln2}2x\right)=\frac{-\ln(1-x)}{x}\implies S(x)=\frac{\pi+2x\ln2-4x\ln(1-x)}{4(1+x^2)}$$